TPPE24 - Ekonomisk analys: Besluts- och finansiell metodik

TPPE24

Institution	Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling (IEI)
Examinator	Ou Tang
Examination	Skriftlig tentamen (6 hp)
Högskolepoäng	6 hp
Övrigt	Kursplan

Om kursen

TPPE24 - Ekonomisk analys: Besluts- och finansiell metodik är den andra kursen i ekonomisk teori (TPPE98 är den första). Kursen omfattar 6 hp och examineras genom en tenta. Kursen indelas i fyra huvudområden; beslutsanalys, riskanalys och nyttoteori, spelteori samt investeringar och finansiella beslut.

Definitioner

Action/Beslut - Är de väl avskilda beslut som beslutsfattaren kan påverka (betecknas ofta med a(i) i kursen där i indexerar antalet olika alternativ)

State of nature/Naturtillstånd - Utfallets konsekvenser beror inte bara på den handlingsväg man väljer som beslutsfattare utan även på andra faktorer som beror på slump eller sannolikhet. Betecknas ofta med b(j) där j indexerar olika naturutfall

Payoff table/Payoff-tabell - Är en tabell som presenterar beslutsunderlag på ett systematiskt sätt. Se nedanför för illustration och detaljerad beskrivning.

Beslutsanalys

Ett beslut definieras som ett val utfört efter att ha betänkt flera valmöjligheter. Beslutsanalys bygger på abstrakta och filosofiska koncept såsom sannolikhetsteori och deduktiv logik men leder vid korrekt bruk till insiktsfull och tydlig handling från beslutsfattaren. Ett åskådliggörande exempel på detta är förutsättningen att man ska bedöma ett besluts kvalitet före man känner till utfallet. Ett vanligt missförstånd är att ett negativa utfall beror på av felaktiga beslut.

Exempel: Jag pluggade inte under terminen men klarade tentan. Även om utfallet var bra kan man inte säga att beslutet att inte plugga under terminen var rätt beslut. 

Ett beslutsproblem kan kokas ned i två olika delar:

• Förarbetet är lite förenklat att beskriva att definiera relevanta beslutsalternativ, naturutfall samt att bedöma konsekvenser för de olika alternativen.
  
• Systematisera informationen från förarbetet och välj utifrån given information en modell som passar situationen.
  

OBS: I den här kursen kommer förarbetet vara givet! Uppgiften är att utifrån den förarbetade informationen välja rätt modell för att lösa ett givet beslutsproblemet.

Payoff-tabell (även benämnd state/consequence-tabell)

Payoff-tabell

Ett bra sätt att framställa ett generellt problem är med en payoff-tabell vilken visar beslutsalternativ, naturtillstånd och konsekvenser. Payoff-tabellen är den mest generella framställningen av ett problem. Konsekvenserna kan vara kvantitativa, ex antal kr, eller kvalitativa, händelse x inträffar eller inträffar inte. Utvidgningar av modellen är att införa sannolikheter för olika naturutfall. För att komma fram till en lösning på ett problem måste man ha ett mål. Detta kan vara inkluderat i modellvalet och exempelvis vara att maximera vinsten eller minimera risken. Då antalet lösningsmodeller är stort är det nödvändigt att klassificera olika beslutssituationer. Detta görs i denna kurs baserat på kunskapen om sannolikheten för olika naturutfall.

- Beslut under säkerhet förutsätter att man vet vilket utfall som följer de olika beslutsalternativen samt kan beräkna deras konsekvenser
- Beslut under strikt osäkerhet är då man inte känner några sannolikheter för naturutfallen
- Beslut under risk då man känner till sannolikheterna för alla naturutfall

Beslut under säkerhet

Beslut under säkerhet kännetecknas av att det bara finns ett naturutfall för varje beslutsalternativ. Utöver detta är två kriterier viktiga för att säkerhet ska råda:

• Beslutsfattaren känner till naturutfallet
• Beslutsfattaren kan förutse konsekvenserna av de olika beslutsalternativen med säkerhet före beslutet fattas.

Beslut under säkerhet är ett simpelt beslutsproblem då det endast gäller att rangordna de olika beslutsalternativen efter hur väl de uppfyller beslutsfattarens mål och välja det bästa.

Exempel: Pelle vaknar på morgonen och ska gå till affären för att handla västkustsallad. Han ska klä på sig och har nu två val: Ta på sig regnjacka eller inte ta på sig regnjacka. Han tittar ut genom fönstret för att se om det regnar eller inte (naturutfallet). Han ser då att det regnar (han känner nu till naturens utfall). Han väljer således att ta på sig regnjackan.

Beslut under strikt osäkerhet

Det som kännetäcknar beslut under strikt osäkerhet är att man inte känner till några sannolikheter för naturutfallen.

Exempel: Pelle vaknar på morgonen och ska gå till affären för att handla västkustsallad. Han är dock otroligt bakfull och orkar inte titta ut genom fönstret för att se om det regnar eller inte. Han har nu två val: Ta på sig regnjacka eller inte ta på sig regnjacka. Naturens utfall har redan skett (antingen regnar det ute eller inte), men Pelle känner inte till vad sannolikheten är att det regnar. Struntar han i regnjackan och det inte regnar ute är det lagom temperatur och han blir nöjd. Struntar han i regnjackan och det regnar ute blir han blöt och kall. Tar han på sig regnjackan och det inte regnar blir han varm och obekväm. Tar han på sig regnjackan och det regnar så blir han nöjd och torr.

I kursen presenteras fem olika beslutskriterier.

Laplace-metoden

Laplace-metoden

Laplace-metoden eller Principle of insufficient reason bygger på att man sätter lika stor sannolikhet vid varje naturutfall.

Motiveringen av detta kriterium är följande: Då alla naturutfall är gemensamt uttömmande och ömsesidigt uteslutande (dvs. man vet med säkerhet att exakt ett av naturutfallen kommer att inträffa), och vi inte har någon information som talar mer för att ett av utfallen kommer att ske är det naturligt att anta likformig sannolikhet.

Eftersom man har gjort ett antagande om naturtillståndet kan man beräkna en uppskattning av vad varje beslut kommer att ge för konsekvens. Uttrycket för detta utfall liknar EMV, Expected monetary value, men ska inte förväxlas med detta då beräkningen görs utifrån ett antagande om den obekanta sannolikheten av olika naturutfall .

Metod (för spelare A):

• Addera ihop alla värden i raden och dividera med antalet möjliga naturutfall
• Gör detta för varje rad
• Välj det medelvärdet som är högst

Walds beslutskriterie (Maximin-metoden)

Walds beslutskriterie

Maximin-metoden, även kallat Walds beslutskriterie, är ett pessimistiskt beslutskriterie. Beslutsmodellen bygger på att man rankar alla alternativa beslut efter vad som är värsta naturutfallet . Alltså är det optimala beslutet enligt denna beslutsmodell det som ger det minst dåliga utfallet .

Metod (för spelare A):

• Välj det minsta utfallet på varje rad
• Välj det största värdet av värdena du plockat ut

Tänk Maximin -> Max av min

Maximax-metoden

Maximax-metoden

Maximax-kriteriet tittar på det bästa naturutfallet för varje beslut . Därefter väljs det av dessa beslut som kommer att ge det bästa utfallet . Denna beslutsmodell är optimistisk och liknas ibland vid attityden som en lotto-spelare har, man ser de stora vinstsummorna och ignorerar sannolikheten för utfallen.

Metod (för spelare A):

• Välj det största utfallet på varje rad
• Välj det största värdet av värdena du plockat ut

Tänk Maximax -> Max av max

Hurwicz metod

Hurwicz metod

Hurwicz metod är en kompromiss mellan maximin- och maximax-metoden. Beslutsfattaren är varken odelat optimistisk eller odelat pessimistisk. I Hurwicz metod är beslutens utfall ett viktat värde av maximin-utfallet och maximax-utfallet. Viktningskoefficienten (optimismkoefficienten), gamma (γ), motsvarar beslutsfattarens optimismgrad. För att rangordna de olika besluten beräknar man utfallen som summan av det bästa och sämsta naturutfallet viktat med optimismgraden.

Metod (för spelare A):

• Plocka ut det största och minsta värdet ur raden
• Använd följande formel: γ * max + (1-γ) * min = Viktat värde
• Räkna ut det viktade värdet för varje rad (beslutsval)
• Välj det högsta viktade värdet

Savage metod (Minimax regret)

Savage metod eller Minimax-regret utgår inte direkt från utfallstabellen som de ovanstående metoderna. Istället beräknar man genom en regret-matris det man går miste om man inte väljer besluten, givet respektive naturutfall.
Metod (för spelare A):

• Skapa en regret-matris
  • Hitta det största värdet i varje kolumn
  • Subtrahera varje värde i kolumnen med kolumnens största värde och lägg in dess absolutbelopp på samma position i en ny matris (i regret-matrisen).
  • Gör detta för varje kolumn
• Välj ut det största värde från varje rad
• Välj det minsta av de utplockade värdena

Beslut under risk/osäkerhet

Beslut under risk sker i situationer då naturutfallen för olika beslutsalternativ beror på oförutsägbara händelser. För att lösa sådana problem genomgås fyra olika steg:

1. Lista olika handlingsalternativ. Handlingsalternativ inkluderar både beslut och åtgärder för att samla information (då osäkerhet definieras som brist på information kan man minska risken genom att samla information).
2. Lista de olika utfallen vilka kommer att bero på handlingsalternativen beslutsfattaren överväger.
3. Utvärdera sannolikheten för alla naturutfall som innefattar osäkerhet.
4. Värdera de olika konsekvenserna i förhållande till beslutsfattarens valda risknivå.

Notera att beslut under risk skiljer sig från beslut under säkerhet på tre punkter. För det första krävs en utvärdering av sannolikheter, för det andra måste man överväga att förvärva mer information för att reducera risken och slutligen krävs att man tar ställning till vilken grad av risk som tillåts.

För att kunna fatta välinformerade och korrekta beslut under osäkerhet krävs en gedigen förståelse för sannolikhet. Sannolikhet är matematikens sätt att kvantifiera osäkerhet vilket är nödvändigt för att värdera olika alternativ. För att hantera beslut under risk används metoder från sannolikhetsläran och beslutsträd.

Sannolikhetslära

I denna kurs är centrala teorier från sannolikhetsläran Kolmogorovs grundläggande axiom, räkneregler för sannolikheter samt väntevärde (här kallat expected monetary value).

Objektiv vs. subjektiv sannolikhet
När man uttalar sig om framtida händelser som har en oviss följd är det viktigt att vara införstådd med olika betydelser av begreppet sannolikhet. Traditionellt finns två olika tolkningar av begreppet.

• Objektiv sannolikhet är ett sätt att kvantifiera osäkerhet i en strikt matematisk betydelse. Denna tolkning rationaliseras med vår erfarenhet av relativ frekvens.

Exempel: Om vi utför ett experiment med ett tärningskast vid två olika tillfällen under samma förutsättningarna (bortsett från tidpunkten för experimenten), kommer den uppmätta frekvensen vara densamma.

• Subjektiv sannolikhet beskriver osäkerheten hos uttalanden vars orsakssamband och bakgrunder är ofullständigt kända. Att det kallas subjektiv sannolikhet beror på att uttalandena grundas på enstaka personers kunskap (kunskapsteori är väldigt flummigt/filosofiskt så det är kanske tydligare säga att uttalandena inte har vetenskaplig grund).

Exempel: "Lagförslaget kommer att röstas igenom med 60 % säkerhet". 

När man behandlar beslut under osäkerhet är utgångspunkten den objektiva tolkningen av sannolikhet. Detta innebär att man kan uttala sig svart eller vitt om ett beslut är korrekt eller inte. Det betyder inte att det korrekta beslutet ger de bästa möjliga konsekvenserna. På grund av osäkerheten som råder kan rätt beslut leda till ett negativt resultat.

Kolmogorovs axiom

Kolmogorovs axiom

Räkneregler

Räkneregler

Väntevärde
Då vi känner till sannolikheter, betecknade p(j) för alla naturtillstånd, b(j), kan vi beräkna väntevärdet för utfallen av de olika beslutsalternativen a(i). I kursen kallas väntevärdet för utfall EMV (Expected Monetary Value) och det beräknas som

• EMV[a(i)]= sum[p(j)*u{a(i),b(j)}]
  

En ofta använd beslutsmodell är Bayes beslutsregel som säger att man ska välja det beslut som maximerar EMV.

Normal form analysis

Ou Tang pratar om Normal form analysis. Detta innebär att man använder utdelningsmatrisen och något beslutskriterie för beslut under risk för att lösa ett problem. Beslutskriteriet är att maximera eller minimera något ekonomisk mått.

Expected Monetary Value (EMV)
Bayes beslutsregel:

• Beräkna förväntat monetärt värde (EMV) för alla beslutsalternativ
• Välja det som har högst förväntad utdelning

Expected Profit Under Certainty (EPC)
EPC är ett mått som beräknar vad vi kan förvänta oss att få i genomsnitt om vi kunde ta ett beslut efter vi fått reda på naturutfallet.

Beräkning av EPC i exemplet

Exempel: Vi singlar slant med ett mynt som ger krona i 6 fall av 10 och klave i de resterande fallen. Om vi väljer 'krona' har vi chans att vinna 10 kr vid rätt utfall och förlora 20 kr vid fel utfall. Vid val av 'klave' har vi chans att vinna 30 kr vi rätt utfall och förlora 10 kr vid fel utfall. EPC är ett mått på vad vi kan förvänta oss för genomsnittlig utdelning om vi skulle upprepa försöket och vid varje försök fick välja efter att se naturutfallet först (dvs utfallet av singlingen av kronan). 

Expected Opportunity Loss (EOL)
I beslutsteori avses med regret den negativa upplevelse som kommer av insikten att ett alternativt beslut hade lett till ett bättre utfall. För att undvika regret används beslutskriteriet att minimera Expected Opportunity Loss (EOL).

Expected Value of Perfect Information (EVPI)
Expected Value of Perfect Information (EVPI) är priset man skulle vara villig att betala för att få tillgång till perfekt information. Information reducerar osäkerhet och i teorin skulle man aldrig behöva ta ett fel beslut om man hade perfekt information. EVPI används i praktiken vid osäkra investeringar som ett sätt att beräkna "kostnaden" av osäkerheten.

Extensive Form Analysis

Extensiv form

Med Extensive Form Analysis avses att lösa beslutsproblem med beslutsträd. Beslutsträdets struktur liknar ett enkelriktat nätverk (flödesschema). Det är ett populärt verktyg för att representera sekventiella beslutsproblem, dvs. problem som innefattar flera efterföljande beslut eller chanspunkter. Beslutsträdets beståndsdelar är följande:

• Beslutsnoder är de fyrkantiga noderna som markerar ett beslut.
• Chansnoder är de runda noderna som markerar ett osäkerhetsmoment i beslutsproblemet. Till varje chansnod hör sannolikheter för utfallen.
• Slutnoder representeras av ett utfall, ofta ett tal.
• Bågar sammanknyter de olika noderna i nätverket. Bågarna som utgår från en beslutsnod markerar ett beslutsalternativ och bågarna som utgår från en chansnod markerar ett möjligt utfall behäftad med en viss sannolikhet.
• Tullar motsvarar extrakostnader som förknippas med bland annat informationsförvärv och de representeras av ett dubbelsträck över den båge som motsvarar beslutsalternativet att förvärva information.
  

Beslutträd kan även representeras av/reduceras till en uppsättning strategier, vilket är ett koncept som är centralt inom spelteori. För mer om strategier, se strategi.

Algoritm för att lösa beslutsträd med EMV

1. Representera informationsunderlaget (beslutsalternativ, utfall med sannolikheter) med ett beslutsträd.
   
2. Ta bort tullar genom att subtrahera kostnaden i de påverkade utfallen.
   
3. Utgå från slutnoderna och beräkna sekventiellt baklänges i flödesschemat EMV för alla chansnoder
   
4. Stryk den båge från beslutsnoden som ger lägst EMV.
   
5. Upprepa 3 och 4.
   

Expected Value of Sample Information (EVSI)
För att beräkna om det är rätt beslut att förvärva information används begreppet Expected Value of Sample Information. Formeln för att beräkna EVSI är följande:
EVSI = EMV med sampelinformation - EMV utan sampelinformation
Beräkningen beskrivs ingående i videon nedan. OBSERVERA att man inte räknar med kostnaden för att förvärva information när man beräknar EMV med sampelinformation, dvs man hoppar över steg 2 i algoritmen ovan. Beslutskriteriet för EVSI blir då: Förvärva information om EVSI överstiger kostnaden för informationen

Riskteori

EMV är ett bra sätt att illustrera beslutsproblem och jämföra konsekvenser av olika beslutsalternativ. En begränsning för metoderna med beslutskriterie som bygger på EMV är att de dock inte tar hänsyn till risk. Detta illustreras i St. Petersburg paradox.

St. Petersburg paradox: Ett välgjort mynt kommer att singlas upprepade gånger till utfallet blir "klave". Om detta sker på det n:te kastet kommer du att få 2^n kronor. Hur mycket är du villig att betala för att få vara med i spelet? 
EMV:t för spelet är oändligheten så tidigare metoder ger att korrekt beslut är att satsa allt du äger för att få vara med och spela en enda gång. Det är givetvis inte ett rimligt beslut.

Paradoxen lyftes av Bernoulli och ledde till två slutsatser

• En persons värdering av ett spel eller beslut som inkluderar risk bör modelleras av förväntad nytta, inte av EMV
• En persons nytta av ekonomisk välfärd, u(w), är inte linjärt relaterad till ekonomisk välfärd, w. Alltså ökar nyttan av ekonomisk välfärd med avtagande hastighet.

Preferenser

När vi gör bedömningar av olika alternativa handlingar utifrån nytta introducerar vi begreppet preferens. Det finns tre olika preferensrelationer:

• Stark preferens : A > B innebär att vi föredrar A över B
• Likgiltifhet : A ~ B innebär att vi är likgiltiga om A eller B
• Svag preferens : A>= B innebär att A är åtminstone lika bra som B

von Neumann-Morgenstern nyttoteri

På grund av risk och andra individuella preferenser behövs ett annat sätt än EMV att jämföra utfall. Under introduktionskursen till Ekonomisk teori användes uttrycket nytta, noterad med bokstaven u, flitigt. Nytta är det mått vi kommer att använda för att jämföra preferenser och därigenom möjliggöra rationella beslut.
Nytta är ett abstrakt mått och du har förmodligen ifrågasatt vad det ens har för praktisk betydelse att kvantifiera det med en reellvärd nyttofunktion. Konceptet kommer ifrån von Neumann-Morgensterns Expected Utility Theory (nyttoteori). Ett vanligt missförstånd är att preferenser är ett resultat av nyttofunktioner. Det är faktiskt så att nyttofunktioners avsikt är att beskriva preferenser. Insikten att nytta, ex u=5, är ett alternativ till det mer intuitiva måttet EMV är i praktiken viktig då risk är en viktig aspekt när man tar beslut.

Exempel: Antag att vi har två beslutsalternativ A och B med nytta u(A)=3 och u(B)=8. 
Felaktigt antagande - Vi föredrar alternativ B framför A eftersom u(B)>u(A). 
Korrekt antagande - u(B)>u(A) eftersom vi föredrar alternativ B framför alternativ A.

Lotterier
I nyttoteorin ställs en agent inför olika beslut, kallade lotterier L. Ett lotteri definieras alltså som ett scenario där ett ändligt antal utfall inträffar med någon sannolikhet och där utfallen är ömsesidigt uteslutande (dvs. summan av alla sannolikheter är 1).

Exempel: Vi har ett lotteri L med möjliga utfall A och B och det gäller att P(A) = 0.25 och P(B) = 0.75. Vi använder då skrivsättet L = 0.25 x A + 0.75 x B.

Ett beslut kan representeras av olika lotterier, L och M. Vi är intresserade av att jämföra och värdera dessa olika lotterier. Följande gäller:
L > M innebär att vi föredrar lotteri L före lotteri M
L >= M innebär att lotteri L är åtminstone lika bra som lotteri M
L ~ M innebär att det är likgiltigt vilket lotteri som väljs.

Teoremet
von Neumann-Morgensterns teorem innebär uttryckt enkelt att givet vissa förutsättningar (fem st axiom) gäller att det existerar en nyttofunktion som tilldelar ett varje möjligt utfall ett reellt tal. Detta möjliggör en kvantitativ jämförelse av olika belutsalternativ som baseras på preferenser. Några poänger innan vi redogör för teoremet.

• Axiomen kan kännas självklara men är i teorin viktiga. De förhindrar bland annat cykler i våra preferenser, exempelvis att utav alternativen A, B och C föredrar A över B, B över C och C över A.
  
• Målet med teorin är att kunna med hjälp av nyttofunktionen, u, rangordna utfall i ett osäkert beslut/spel efter preferenser. Detta åstadkoms genom att omskala och förflytta ett lotteris sannolikhetsfördelning. Detta utgör en viktig skillnad mellan lotterier och nyttofunktioner. Lotterisannolikheter har värderummet [0,1] medan nyttofunktioner har värderummet reella tal.
  

Formellt formuleras teoremet enligt:

Certainty Monetary Equivalent (CME)

CME för ett beslutsalternativ definieras som den specifika summa som är likvärdig med beslutsalternativet.

Exempel: Antag att du står inför ett osäkert affärsbeslut som med lika stor sannolikhet ger en vinst om 10 000 SEK och en förlust om -5 000 SEK. EMV för beslutet blir  0.5 x 10 000 SEK + 0.5 x (-5 000 SEK) = 2 500 SEK. Antag att du gör bedömningen att du är villig att sälja denna möjlighet för 500 SEK eller mer. Detta innebär att CME = 500 SEK. 

Introduktionen av CME möjliggör att jämföra olika personers riskpreferenser. Ett referenslotteri är ett enkelt lotteri med fixa utfall, kallade W och L. Då kommer CME bero på preferenssannolikheten p(x). Preference probability är en särskild typ av nyttovärde. Man använder referenslotterier för att beskriva en persons valbeteende och utvecklas en nyttofunktion från referenslotteriet.

Riskattityd

Det finns tre olika riskattityder:

• Riskavert
  • CME(projekt)<EMV(projekt)
  • U´´(x) < 0
• Riskneutral
  • CME(projekt)=EMV(projekt)
  • U´´(x) = 0
• Risksökande
  • CME(projekt)>EMV(projekt)
  • U´´(x) > 0

Riskattityd är kopplat till välfärd. Ju mer välfärd man har, desto mer benägen är man att ta risker.
Riskpremien, den kostnad individen är villig att ta för att undvika risk, beräknas som skillnaden mellan EMV och CME (EMV - CME).

Spelteori

Spelteori skiljer sig från beslutsteori i och med att man har en motspelare. Denna nya dimension skapar en dynamik av reaktion och motreaktion som vi inte behandlat under avsnittet beslutsteori. Många modeller och begrepp från beslutsteori återkommer i spelteorin men vi behöver nu lista ut vad vi kan kalla för en lösning till ett spelproblem.

Spel finns i oändligt många variationer som kräver olika lösningsmetoder (nollsummespel, sekventiella/simultana spel, rättvisa spel, osv.). Det är därför viktigt att kunna bestämma vad alla spel har gemensamt och vilka variabler som karaktäriserar ett visst spel.

Två grundantaganden är viktiga att alltid ha i bakhuvudet när vi analyserar ett spel:

• Vi antar att alla spelare är rationella, dvs att alla gör perfekta beräkningar och väljer det drag som maximerar sin utdelning (Rationality Assumption)
• Vi antar alla spelare vet spelets regler (se under avsnittet spelbeskrivning) och att varje spelare dessutom vet att alla andra spelare har känner till spelets regler (Common Knowledge Assumption)

Spelbeskrivning

Ett spel karaktäriseras av dess regler. Med regler menas beskrivningen av vad spelet har för spelare, drag, utdelningar och information. På engelska förkortas dessa fyra viktiga element med PAPI - Players, Actions, Payoffs och Information.

• Spelare är de aktörer i ett spel som utför drag. Varje spelares mål att att maximera sin egen nytta genom ett val mellan sina möjliga drag.
• Ett drag, betecknat med bokstaven a, är ett val som är möjligt för en spelare.
• Med utdelning, betecknad med bokstaven U, menar vi den nytta som en spelare upplever efter att alla spelare och naturen har valt sina strategier och spelet har utspelats.
• Information är det underlag (dvs. de tidigare drag eller naturutfall) som en spelare kan basera sina drag på vid varje givet tillfälle. Den kan variera mellan olika spelare. Information påverkar spelares beteende och dynamiken i spelet.
• Naturen är en psuedo-spelare som tar slumpmässiga beslut specificerade med sannolikheter vid givna tidpunkter i spelet

De spel vi kommer att studera inkluderar uteslutande två spelare.

Strategiska spel

Strategiska spel (statiska/simultana spel) modelleras och lösas med en utfallstabell, dvs på normalform. I de strategiska spel vi kommer att analysera finns det två spelare som vi kallar spelare A och spelare B

Constant Sum Games

I ett Constant Sum Game är utdelningarna för spelare A och spelare B konstant, oavsett utfall. Vi kommer främst att använda Zero-Sum Games där summan av utdelningarna för spelarna alltid är 0. Det är ett specialfall av Constant Sum Games.

Zero-Sum Games
Utdelningar som anges i payoff-matrisen är alltid ur den ena spelares synvinkel. Dvs har vi skrivit matrisen ur spelare A:s synvinkel och det står en 6a i en cell (nytta 6 för spelare A) så betyder det att spelare B får nyttan -6 av det utfallet. Detta innebär att summan av spelarnas utdelningar är noll i varje utfall (i detta fallet 6 - 6 = 0).
Lösning: Använd maximinkriteriet för att hitta jämviktslösning. Det finns alltid en jämviktslösning i ett nollsummespel.

Beräkning av EPC i exemplet

Sekventiella spel

Information

Om hälften av strategiska tänkandet är att förutse vad den andra spelaren ska göra så är den andra hälften att fundera ut vad han vet. Simultana spel, där båda spelarna gör sina drag vid exakt samma tidpunkt, modelleras bra av normalform. Begreppet information blir centralt när spelarna gör sina drag i en sekvens. Den enda modellen vi kan använda för att beskriva den viktiga aspekten med information i ett sekventiellt spel är exstensiv form/spelträd.

Spelträd
Vi har redan presenterat den modellering av beslutssituationer på exstensiv form (även kallade beslutsträd). I spelteori är den exstensiva formen är en beskrivning av ett spel som består av:

1. En konfiguration av noder och grenar utan några slutna cykler från en startnod till dess slutnod.
2. En indikation av vilka noder som tillhör vilken spelare
3. Sannolikheter som naturen använder för att "välja" olika grenar från sina noder
4. De Informationsset mellan vilka varje spelares noder av fördelade.
5. De olika spelarnas utdelningar vid varje slutnod.

Skillnaden mellan exstensiv form och spelträd tas upp i kapitel 2 av boken Game Theory av Rasmussen, E (extralitteratur i kursen). Rasmussen gör skillnad på olika typer av utdelningar det blir därmed relevant att åtskilja begreppen. För nu kan vi anta att alla exstensiva former är spelträd då slutnoder i den här kursen ALLTID ersätts av utdelningar.

Informationsset
Ett spels informationsstruktur, exempelvis turordningen av spelarnas drag, är ofta dold av spels strategiska natur (att spelare förutspår, agerar och reagerar). Watergateaffären var en stor politisk skandal i USA på 70-talet då ett inbrott skedde i ett partis högkvarter i kontorskomplexet Watergate. Efter utredning kom man fram till att regeringen hade försökt att mörklägga sin inblandning. Under skandalen blev senator Baker känd för frågan "How much did the President know, and when did he know it?". Det är två frågor som är lika viktiga i spelteori. För att beskriva vad spelare vet vid vilka tidpunkter definieras begreppet informationsset.

Definition: En spelares informationsset, w, vid en given tidpunkt i ett spel är det set av olika noder i spelträdet som han vet kan vara den faktiska noden men som han inte kan åtskilja via direkt observation

Som definitionen antyder är en spelares informationsset de noder som tillhör en spelare men som ligger på olika vägar. Det fångar iden att spelaren vet vems tur det är att göra ett drag men inte vilken plats i spelträdet som har nåtts vid tidpunkten för draget. Informationsset brukar markeras i spelträdet genom att omringa informationssetets noder med en streckad linje (denna del av spelträdet kallas ibland för moln då det inte råder klarhet var i molnet man är).

Informationsstruktur

Vi kategoriserar ett spels informationsstruktur i fyra olika sätt så att ett spel kan ha perfekt, fullständig, säker och symmetrisk information.

Perfekt information
Perfekt information karaktäriseras av att varje informationsset består av endast en nod. Skillnaden perfekt och imperfekt information är kanske den viktigaste aspekten av ett spels informationsstruktur. I ett spel med perfekt information vet alltid varje spelare exakt var han är i spelträdet. Inga drag sker simultant och alla spelare observerar naturens drag. En praktisk relation är att om ett spel är ofullständigt eller assymetriskt så är det också ett imperfekt spel.

Säker information
Säker information beskrivs av att inga drag görs av naturen EFTER någon av spelarnas drag. Annars är spelets information osäker. Ett spel med säker information kan även ha perfekt information om det inte finns några simultana drag. I ett spel med osäker information är det möjligt men inte nödvändigt att naturens drag visas till spelarna direkt.

Det enda frågetecknet kring definitionen är givetvis att den tillåter naturen att göra det första draget. De flesta spelteoretikerna ser dock inte detta som en osäkerhet ty inga beslut tas före naturutfallet visar sig.

Symmetrisk information
I ett spel med symmetrisk information innehåller en spelares informationsset, vid någon nod han gör ett drag eller vid en slutnod, åtminstone samma element som någon annan spelares informationsset.

Ett spel med asymmetrisk information kännetecknas av att skillnader mellan olika spelares informationsset antingen påverkar deras beteende eller är olika i slutet av spelet. Sådana spel har imperfekt information eftersom att informationsset som skapar denna informationsstruktur måste inkludera fler än en nod. Definitionen ovan är avsedd att fånga den vaga betydelsen av vad som vanligen menas med asymmetrisk information idag; nämligen att någon spelare har fördelaktig privat information.

Ett spel med symmetrisk information kan ha drag av naturen eller simultana drag så länge ingen av spelarna har en informationsövertag. Det enda tillfället då informationen kan vara annorlunda är då spelaren som inte gör ett drag har informationsövertag

Exempel: Bybor väljer om de ska producera mycket eller litet före de vet om karavanen i området kommer att passera och handla, plundra eller bara åka förbi. Det är dålig kommunikation i området så ingen av spelarna vet hur den andra spelar

Fullständig information
I ett spel med ofullständig information gör naturen ett drag först som inte observeras av åtminstone en spelare. Annars är det ett spel med fullständig information.

Ett spel med ofullständig information är också ett spel med imperfekt information eftersom någon av spelarnas informationsset inkluderar mer än en nod.

Spelrepresentation

Normalform

Enstensive form

Inversteringsteori

Investering definieras som en kapitalinsats som förväntas leda till framtida avkastning. Den som har ansvar för finanser och investeringar i företag kallas CFO, Chief Financial Officer, och hen har direkt ansvar för investeringsbeslut, finansiella beslut och att se över företagets kassaflöden. Detta innebär att styra både företagets redovisning och investering. Ett företags balansräkning består av å ena sidan tillgångar och å andra sidan skulder och eget kapital. Denna åskådliggör det dubbla ansvaret att både förvalta företagets tillgångar för bästa möjliga avkastning och finansiera sina tillgångar så att ägarna får en tillfredsställande avkastning utan att ta för stora risker.

Ett viktigt begrepp för ekonomer är alternativkostnader. Det är inte något som framgår av ett företags redovisning. Ett företag som uppvisar ett vinstresultat kan fortfarande underprestera ekonomiskt på grund av stora alternativkostnader.

Exempel: Kalle arbetar som Taxichaufför och har en årslön på 250 000 kr. Han är trött på sin arbetsgivares sätt att styra företaget och tror att han kan göra det bättre själv. Han bestämmer sig för att starta ett eget företag. Nästkommande år gör han som egenföretagare en årsvinst på 200 000 kr (utan att ha tagit ut någon lön under det gångna året). Alternativkostnaden för att starta ett eget företag utgörs av de intäkter han gav upp och den landar alltså på 250 000 kr - 200 000 kr = 50 000 kr.

Det är viktigt att hålla koll på ett företags alternativkostnader som kan vara svåra att upptäcka. De kan utgöras av ofördelaktiga affärsavtal, onödigt höga riskpremier på lånat kapital och övriga kapitalkostnader.

Tidsvärdet av pengar

Pengar har ett tidsvärde. 100 kr idag kan inte antas ha samma värde som 100 kr om 3 år. Detta har flera förklaringar, bland annat inflation, uppskjuten konsumtion, risk, likviditetspreferenser, skatt och alternativa investeringsmöjligheter.

Ränta

Det finns många olika typer av räntor (vi betecknar ränta med r) och vi skiljer bland annat på enkel och sammansatt rämta, effektiv och nominell ränta samt kontinuerlig ränta. Enkel och sammansatt ränta:

Kassaflöden och kalkyleringsmetoder

Avskrivningar

Avskrivning är en redovisningsterm som syftar till att:

• I bokföringen redovisa kostnaden för anläggningstillgångars värde och att därmed uppta organisationens tillgångar till deras verkliga värde
• Fördela kostnaden för en tillgång till samma period som den genererar intäkter

Linjär avskrivning/20-regeln

Annat material

Sammanfattningar

Sammanfattning

Länkar

Kursplan

Se även

Industriell ekonomi - Linköpings universitet
TAMS65 - Matematisk statistik I, fortsättningskurs